极大线性无关组

线性相关

定义1 如果有数域P中的数，使,向量就称为向量组的一个线性组合

定义2 如果向量组中每一个向量都可以经向量组线性表出，那么向量组就称为可以经向量组线性表出。如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价。

定义3 如果向量组中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组称为线性相关。

定义3' 如果有数域P中不全为零的数,使向量组称为线性相关。

易证，定义3和定义3'等价，且由定义3'易知包含零向量的向量组一定线性相关。

不线性相关的向量组就称为线性无关，易知 - 线性无关组的任一非空部分组也线性无关。 - 在线性无关组的每一个向量后面添加一个分量得到的n+1维向量组也线性无关

定理1 设与是两个向量组。如果 1. 向量组可以经线性表出； 2. r > s，那么向量组必线性相关。证明（课本用解方程组的方法证的，打字不易，这里用线性空间简证一下）：若向量组线性无关，则它们构成维数为r的线性空间的基，而可被线性表出，可知，与条件2矛盾。

推论1 如果向量组可以经向量组线性表出，且线性无关，那么。

推论2 任意n+1个n维向量必线性相关。证明 :每个n维向量都可以被n维单位向量线性表出，且n+1 > n，因而必线性相关。

推论3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量。

定义4 ，如果一向量组的一个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关，这个部分组称为一个极大线性无关组

极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

对于一个向量组的任何一个线性无关组，若不符合定义4，可知一定有至少一个向量添加后仍线性无关，由定义4递推可知 定理3 一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组

向量组的极大线性无关组不是唯一的，但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的，虽然极大线性无关组可以有很多，但是由定理2的推论3，立即得出

定理4 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量

定理4表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质。因此，我们有

定义14 向量组的极大线性无关组所有向量的个数称为这个向量组的秩。