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线性空间

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数学是研究抽象结构的理论。

引言

数学研究的进程，就像我们从一个苹果抽象出不依赖于现实物质的数字1，从一个苹果加一个苹果等于两个苹果中抽象出朴素的加法，并惊喜发现梨、书本、笔等等同样地遵循这样的加法法则，进而我们将研究对象从苹果转到了自然数，研究内容从具象到抽象，从特例到普遍……线性空间就是在这样的进程中，考察了大量的数学对象(如几何学与物理学中的向量，代数学中的n元向量、矩阵、多项式，分析学中的函数等)的本质属性后抽象出来的数学概念。

线性空间的概念与定义

线性空间，又称向量空间，其中的"向量"并非指在解析几何中引入的向量概念，而是作为线性空间的元素的抽象的数学概念，如在解线性方程组时，我们讨论了以n元有序数组作为元素的n维向量空间（问“向量是什么“的问题是不合适的，正如只有明确在数苹果时，数字3才被赋予明确意义（3个苹果）），而这些向量的共同点，在于满足下述的八条规则（或许可以称之为线性空间的八条公理）。

定义

定义1 设V是一个非空集合，P是一个数域.在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法：这就是说，给出了一个法则，对于V中任意一个元素与在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为与的和，记为.在数域P与集合V 的元素之问还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域 P中任一数k与V 中任一元素.在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为k与的数量乘积，记为.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间.

  1. ;
  2. ;
  3. There is a vector 0 such that for all vectors;
  4. For every vector there is a vector such that ;
  5. ;
  6. ;
  7. ;
  8. ;

若线性空间的加法与乘法满足基本的加法与乘法运算，则上述规则自然成立。

由定义得到的简单性质

1.零元素是唯一的 证明：假设线性空间有两个零元素，来证 由于是零元素，所以又由于也是零元素，得 于是 得证.

2.负元素是唯一的 证明：假设有两个负元素 那么 得证.

向量的负元素记为,可以定义减法如下：

3. 证明：

4.如果,那么或 证明：假设,于是 # 维数，基与坐标的引入

引入

为了进一步研究（有限维线性空间中的）向量的性质，引入坐标是一个重要的步骤，而坐标的确定建立在基的确定的基础上的（基变换，坐标往往随之变换），而基在确定之前首先要确定维数（事实上，我们常常在确定维数的同时给出这个线性空间的一组基）。

维数的唯一性建立在对[[极大线性无关组]] 极大线性无关组的讨论中的，在此我们直接给出定义：

定义2 如果在线性空间V中有n个线性无关的向量（一组基），但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为是n维的；如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。

定义3 在n维线性空间V中，几个线性无关的向量称为V的一组 基，设是V中任一向量，有其中系数是被向量和基唯一确定的，这组数就称为a在 基下的坐标，记为.

基变换与坐标变换

现在我们来看，随着基的变换，向量的坐标是怎样变化的。

设 与 是n维线性空间v中两组基，它们的关系（在基底{}下的坐标）是

设向量在这两组基下的坐标分别是与，即 现在的问题在于找出与的关系。

为了写起来方便，我们引入一种形式的写法：把(2)式写成

ps.这里我们把向量看作是这两个矩阵的乘积。我们所以说这种写法是“形式的”，在于这里以向量作为元素的矩阵，一般说来是难以胜任矩阵运算的（向量与标量具有本质区别，详询自行deepseek）。不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是可行的。

相仿地，(1) 可以写成

矩阵

称为由基到的过渡矩阵，它是可逆的（由基的线性无关性可知，）。

整合(3)式和(4)式，可得 或 (5)式和(6)式给出了在基变换(4)下，向量的坐标变换公式。

线性子空间

线性空间的本质就是元素满足八条规则的特殊非空集合，经常地，我们只关心它的某个子集，如空间几何中的一个平面，实系数函数中的多项式函数。以下是对能构成线性空间的子集的讨论：

定义

定义4 设V是数域P上的一个线性空间，W是V的一个非空子集合。如果W对于V的两种运算（加法和数乘）也构成数域P上的线性空间，则称W是V的一个线性子空间。

由定义知W是V线性子空间的充要条件是

定理1 如果线性空间V的非空子集合W对于V的加法和数乘运算是封闭的，那么W就是V的一个子空间。

特殊子空间

  1. 零子空间 显然，只有零元素的子集可以构成线性空间，我们称之为零子空间；
  2. 平凡子空间 线性空间V本身也是V的一个子空间。零子空间和V本身有时被称为平凡子空间，其他子空间称为非平凡子空间。

生成子空间

对于有限维数线性空间W，W中的所有元素可以由一个向量组(至少包含一组基)线性表示，反过来说，我们可以用任何一个向量组生成一个线性空间，记 为由线性空间V中的向量的所有线性组合生成的子空间。

由[[极大线性无关组]] 极大线性无关组的讨论，可立即得以下结论 定理2 (1)两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价； (2)的维数等于向量组的秩.

定理3 设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间， 是W的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.

子空间的基本运算

和与并

定理4(维数公式) 如果 是线性空间 的两个子空间，则

直和

当时，具有特殊的性质，我们称这种情况为直和，直和不是一种运算，而是两个子空间的特殊关系。

定义5 设是线性空间的子空间，如果和中每个向量的分解是唯一的,这个和就称为直和，记为

定理5 和是直和的充要条件是，只有在全为零时成立 证明：必要性显然，下证充分性，设有两种分解式于是有该定理，知即分解式唯一，得证.

推论1 和是直和的充要条件是， 推论1与开头提到的维数关系是等价的。

当然，唯一分解性(定义5)，定理5 ，推论1与开头提到的 维数关系 都是可以相互推导（等价）的，且直和的这些性质可以推广到多个子空间中。

线性空间的同构

定义6 设和是数域上的两个线性空间,如果存在一个双射（即一一对应且满射）的映射，满足以下性质(是中的任意向量)：
1.
2.
则称与是同构的，并称映射为从到的同构映射。

同构映射就是满足双射且保持运算(这里即保持线性空间的运算)的一种映射

同构映射不改变线性相关性(双射的)，故同构映射不改变维数。

引入坐标可以认为是有限维线性空间到的同构映射

显然，同构映射的逆运算和两个同构映射的乘积还是同构映射（满足自反性，对称性和传递性），故数域上的任意两个维线性空间都同构（都与同构）。

综上 定理6 数域上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。

在线性空间的抽象讨论中，我们只涉及了线性空间在所定义的运算下的代数性质，因此，同构的线性空间是可以不加区别的。而定理12说明了，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征，即维数相同的线性空间结构统一，代数性质完全相同。

总结

线性空间是一个抽象的数学结构，这里的讨论不仅为有相同结构的理论提供了统一的数学工具，也为新的有相同结构的理论提供了讨论的范式。