定义与研究方法
在线性空间中，事物间的联系就反映为线性空间的映射，线性空间到自身的映射通常称为一种变换
定义1 若对于线性空间中任意元素和数域中任意数，变换满足 则称变换为线性空间的一个线性变换.
简单性质
- 存在单位变换与零变换
- 线性变换保持线性组合与线性关系式不变
- 线性变换不改变线性相关组的线性相关性，但可能把线性无关组变成线性相关组，如零变换
如何研究线性变换
第一种方法是对线性空间的全体线性变换的集合引入运算：加法、数量乘法、乘法。这样就构成了数域上的一个代数。我们可以利用这些运算来研究线性变换。
第二种方法是在空间中选定一组基，通过这组基将线性变换对应为矩阵。这种对应实现了几何对象"线性变换"与代数对象"矩阵"之间的转换，类似于解析几何中点与坐标的对应关系。这种"形"与"数"的转换具有双重优势：一方面可以将线性空间和线性变换的问题转化为数值计算问题；另一方面又能将数量关系的问题与空间性质联系起来加以解决。
线性变换的矩阵
对于一个变换， 我们只知道原像和像是是什么，而不知道变换的细节（只有输入输出的黑盒），这不便于我们的进一步研究，我们希望用我们熟悉的数学语言进一步的描述这个黑盒。
如何确定一个线性变换
对于完全相同的输入有完全相同的输出的黑盒，我们认为是同一个变换。
而由性质3可知，对于线性变换，当一组基的像确定，则其他向量的像也就确定了，即一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定。(见下文，这说明了线性变换到矩阵的映射是单射的)
而对于任何的n个向量(都可以被基线性表出)，都有一个线性变换使(这说明了线性变换到矩阵的映射是满射的)
综上，有 定理1 设是线性空间的一组基，是V中的任意个向量，存在唯一的线性变换,使
线性变换的矩阵表示
定义2 设是数域上维线性空间的一组基,是中的一个线性变换。基向量的像可以经基线性表出，即
用矩阵来表示就是
其中 矩阵称为在基下的矩阵。
与的关系
定义2表示，在确定一组基后，我们可以建立维线性空间的线性变换到矩阵的一个映射。而在前文我们还知道这个映射既是单射的，又是满射的，即是双射的。且因为他们是保持运算的，故这个映射还是同构映射 。
相似矩阵
如果我们确定下一组基，对于和的讨论可以认为是等价的，但随着基变换，同一个线性变换就有不同的矩阵，我们有必要弄清它们之间的关系。
记在两组基,下的矩阵分别为,从到的过度矩阵为,则， 由此即得 我们称满足上式关系的两个矩阵是相似的 定义3 设为数域上两个阶矩阵，如果可以找到数域上的阶可逆矩阵，使得，就说相似于，记作。
定理2 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的。反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。
特征值与特征向量
定义4 设 是数域 上线性空间 的一个线性变换。如果存在数 和非零向量 ，使得 那么 称为 的一个特征值， 称为 的属于特征值 的一个特征向量。
从 可以推出 也就是说，特征向量不是被特征值唯一决定的（因为任何非零倍数都是特征向量），但特征值是被特征向量唯一决定的（一个特征向量只能属于一个特征值）。
下面给出特征值和特征向量的求法
求解特征值与特征向量
记是在基向量下的坐标由知 第二行是一个齐次线性方程组(即下图中提到的方程组(3)),其有非零解的充要条件是 定义5 称式为的特征多项式，这是数域上的一个次多项式。
设 是线性空间 的线性变换， 是 的特征值。满足 的所有向量 （包括零向量）构成的集合是 的子空间，称为 的特征子空间，记作 。其维数等于属于 的线性无关特征向量的最大个数。用集合表示为：
由特征多项式得到的几个结论
特征多项式的展开性质
对于 矩阵 ，其特征多项式 的展开式中： 主对角线上元素的连乘积 决定了特征多项式的 和 项： 展开式中其余各项最多包含 个主对角线元素，因此对 的最高次数不超过 。 令 可得常数项： 综合上述结果，特征多项式可表示为： 若的特征多项式有个解，记n个特征值分别为,有： 对比式可知，的特征值之和为其主对角线元素之和(称为的迹，),而的特征值之积为
定理6 相似矩阵具有相同的特征多项式(但有相同特征多项式的不一定是相似矩阵 证明： 设 ，即存在可逆矩阵 使得 。则：
定理7 Hamilton-Cayley定理
设 是数域 上的 矩阵， 是其特征多项式，则： 注项：可能有人觉得这是一个显而易见的结论，将中的替换为就可以直接得到结论。 实际上，与间的是一种数乘关系，故这里的，且如果是那样的话，得到的应该是而这里得到的是零矩阵。因此，将中的替换为是很容易引发歧义的，更好的做法是先展开成多项式的形式，再替换，如上式。 现阶段，这个定理的证明一般要用到伴随矩阵的运算性质 证明：
1. 设 是 的伴随矩阵，则有： 2. 将 表示(由伴随矩阵((元素是的各个代数余子式，且都是的多项式，次数不超过))的运算性质)为： 其中都是的数字矩阵 3. 通过比较系数和矩阵运算（如下图(6)-(9)式），最终得到 。 
推论：
对有限维空间 的线性变换 ，若 是其特征多项式，则 （零变换）。
对角矩阵
对角矩阵是最简单的一类矩阵，这里我们考察哪一类线性变换的矩阵在一组适当的基下可以是对角矩阵，或者说，哪一类线性变换的矩阵相似于一对角矩阵（称为可对角矩阵）
由特征值的讨论可知线性变换的对角矩阵可表示为
且易知这组基满足，即这组基就是的个线性无关的特征值向量 反过来说，若有个线性无关的特征向量，取其为基，则在这组基下的矩阵即为对角矩阵。定理8得证
定理8 设是 (n) 维线性空间的一个线性变换,的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是：有个线性无关的特征向量。
由定理8我们得到了哪一类线性变换的矩阵在一组适当的基下可以是对角矩阵的一个判定条件
定理9 属于不同特征值的特征向量线性无关。
推论1 若维线性空间中，线性变换的特征多项式在数域中有个不同的根（即个不同特征值），则在某组基下的矩阵为对角矩阵。
推论2 在复数域上的线性空间中，若线性变换的特征多项式无重根，则在某组基下的矩阵为对角矩阵。
线性变换的值域与核
定义6 的全体像组成的集合称为的值域，所有被变成零向量的向量组成的集合称为的核，用 表示 不难证明，值域和核都是的子空间。 其中，我们称的维数为的秩，的维数为的零度.
的秩和的秩是保持一致的，且接下来我们证明 定理10 设 是 维线性空间 的线性变换，则 的一组基的原像及 的一组基合起来就是 的一组基。由此还有
这里的证明与[[线性空间]] 线性空间 中定理4(维数定理)的证明同样的用到了基的扩充的方式，这是证明维数有关的命题常用的方式。
虽然子空间 与 的维数之和为 ，但 未必等于整个空间 如对于值域就是，核就是 实际上，由维数定理 可知， 等于整个空间 当且仅当(直和)
推论 对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充分必要条件为它是满射 证明 当且仅当 ，即 的秩等于 时，线性变换 是满射； 当且仅当 ，即 的零度为 时， 是单射。
不变子空间
不变子空间揭示了线性变换的矩阵化简与直和间的关系
定义7 设 是数域 上线性空间 的线性变换， 是 的子空间。如果对于任意 ，有 ，则称 是 的不变子空间，简称 -子空间。
如整个空间，零子空间，值域和核都是-子空间; 的属于特征值的特征子空间也是-子空间； 而任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间。 任意两个-子空间的和与交还是-子空间
不难注意， 由于中的向量在下的像仍在中，故我们有时可以只在不变子空间中考虑 (常写作),如核上的变换就是零变换，特征子空间上的变换就是数乘变换。
设 是 -子空间，取 的基 并扩充为 的基： 则 在此基下的矩阵为分块上三角矩阵： 其中， 是 在基 下的 阶矩阵
反过来说，若 的矩阵呈上述分块形式，则 必为 -子空间。
当 可分解为 -子空间的直和： 在各 中取基： 合并为 的基时， 的矩阵为准对角矩阵： 其中 是 在对应基下的矩阵。
每个对角块 完全独立地描述 在 上的作用,矩阵的秩满足
反之，若 的矩阵为准对角形，则各基向量组生成的子空间 都是 -子空间。
定理11 设线性变换 的特征多项式可分解为一次因式的积， 则可分解为不变子空间的直和 其中，(即(的核)
证明：定义多项式 并令 ，则(这里可知后面将证明)。
要证 根据定义，要证两点， 一是对于中的任一元素可以表出成和的形式 二是这种表法唯一
由 ，存在多项式 使得对任意 ，有 其中， 存在性得证
设有 且 ，对 ，（因 ），则对于 两边同乘 得，又由 可得 这条结论将用于下面唯一性与相等的证明，简称结论
因为,所以,可知时满足结论，有符合直和的充要条件，唯一性得证
下证 ,只需再证 设是(的核， 由满足结论，得 以上，得证。
定义8 称上文的为的属于的根子空间，另记为
若尔当(Jordan)标准型
对角矩阵具有简单形状，但不是所有的方阵都相似于一个对角矩阵，故将对角矩阵作为一种标准型不具有一般性，下面讨论一般线性变换的矩阵的标准型即Jordan标准型,限制在复数域中讨论
定义9 形为
的矩阵称为若尔当块，其中 是复数。
由若干个若尔当块组成的准对角矩阵
称为若尔当形矩阵，其中 为复数，允许有重复值。
定理12 设 是复数域上 维线性空间 的一个线性变换，则 中一定存在一组基，使得 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵（称为 的若尔当标准形）。
证明：
设 的特征多项式为
其中 是 的全部不同根。
由定理11， 可分解为 的不变子空间的直和：
其中 ，若每个上有一组基使得矩阵为若尔当形矩阵，定理得证。
引理 设 是 维线性空间 上的幂零线性变换（即存在正整数 使得 ），则 中存在一组基，使得 的矩阵形如： (不难接受，证明略，详见高代课本)
令,则 为幂零线性变换，而,定理得证 取 满足 但 ，并以 的线性无关组为基。
定理13（矩阵语言） 每个 阶复矩阵 必相似于一个若尔当形矩阵，称为 的若尔当标准形。该若尔当形矩阵（忽略块的排列顺序）由 唯一决定。 （以后将证明）
若尔当形矩阵是下三角矩阵，主对角线上的元素就是特征多项式的全部根。