收敛数列(或数项级数)可以表示或定义一个数，而收敛的函数列(或函数项级数)可以来表示或定义一个函数。

函数列

我们可以从两种切入方式理解函数列

一，当定住看 ,函数列就是每一项是一个函数，函数列可以看做某一类函数，放到图像上就是(如果有的话)条曲线,如果足够大后，所有函数趋于可以被一个函数描述(在某个定义域)，这个函数就是极限函数，如在的极限函数是

二，当定住看 ,函数列可以看做某一类的数列，如 $数列一$ $数列二$ $数列三$ $函数列$ 其中 ,这样，当取定时即为一个数列，函数列在收敛即数列收敛，函数列在上的每一点都收敛,则由这个对应法则确定的上的函数称为此函数列的极限函数，亦代表定义在上的这一类数列的极限存在且被描述，特别的，当为一常数时，这一类数列的极限相同。

使函数列收敛的全体收敛点的集合称为函数列的收敛域

函数列的一致收敛

由上面的方式定义出来的极限函数是很随意的，当我们要研究极限函数的解析性质时，我们需要加强一下对收敛性的要求。

定义1 设函数列与函数定义在同一数集上。若对任意，存在正整数，使得当时，对所有都有：则称在上一致收敛于，记作：

仅依赖于，与无关(而一般的收敛)。一致收敛必点态收敛，反之不成立。

定义1 同时可以给出不一致收敛的正面陈述，即在上不一致收敛于的充要条件是：存在某个，对任意正整数，总存在 (依赖于 ) 和，使得：

函数列一致收敛于的几何意义是：对任意，存在使得当时，所有曲线都落在以为边界的“带状区域”内

定义2 设函数列与函数定义在区间上。若对任意闭区间，在上一致收敛于，则称在上内闭一致收敛于。

当为有界闭区间时，内闭一致收敛等价于一致收敛。

内闭一致收敛弱于一致收敛，但强于点态收敛。

如在是一致收敛的(只要 ) 但在就不是一致收敛的，只要令,对任意整数取，但它是内闭一致收敛的。

再理解“一致”的一个尝试

点态收敛时，当取定时每一个收敛的都对应一个最小的 (不取整，小于的值取为),即有定义域为收敛域的函数 , 这样的可以作为的收敛速度的一个度量(越大收敛速度越小)。如在取定，而 (不连续且无界)

而一致收敛，意味着对于每一个，其都有一个上界使得所有的在这个收敛速度之下(一致收敛于这个最大的)

函数最重要的性质是有界性(有上界)，在本文最后[[函数列与函数项级数#补充：一个可以从点态收敛推出一致收敛的定理]]提到的dini定理 可以这样理解，单调绝对符号可去；极限函数连续连续；闭区间连续一致连续有界

函数列一致收敛的判定定理

定理1（一致收敛的柯西准则） 函数列在数集上一致收敛的充要条件是：对任意，存在正整数，使得当时，对所有都有

证明：必要性证明略，下证充分性若条件 (4) 成立，由数列收敛的柯西准则，在上逐点收敛于某函数。固定并令，则当时，对所有有

从而一致收敛于

定理1.1（上确界判定法） 函数列在区间上一致收敛于的充要条件是：
证明略

定理1.1说明对于任意，存在 (取定后，存在 )使得时，在上不一致收敛于，即得推论在上不一致收敛于的充要条件是：存在子列，使得不收敛于零由推论，实际上是将函数列的一致收敛问题转换成了数列的收敛问题.

函数项级数

函数项级数的基本概念

定义

定义函数项级数：设是定义在数集上的函数列，表达式记作或简记为。

同样的，当取定时，即为[[级数的收敛性]]

定义部分和函数列：函数项级数的收敛性等价于其部分和函数列的收敛性。

定义和函数：和函数的地位类似于函数列的极限函数，函数级数只是把所有的项加在了一起，不一定收敛，对于n项函数的部分和，当n趋于无穷时，如果这个部分和正好收敛成一个函数的表达式（此时x要有个收敛域），这个表达式就是和函数，并且他的值等于函数级数

收敛性

对于，若数项级数收敛（即存在），则称级数在收敛，称为收敛点。

级数所有收敛点的集合称为该级数的收敛域。

函数项级数的一致收敛性

定义3 设是函数项级数的部分和函数列。若在数集上一致收敛于和函数，则称在上一致收敛于。若在任意闭区间上一致收敛，则称其在上内闭一致收敛。

定理2.1（一致收敛的柯西准则） 函数项级数在上一致收敛的充要条件是：对任意，存在正整数，使得当时，对所有和正整数，有

推论若一致收敛，则在上一致收敛于零（即）。(反之不一定)

记为的余项,有 定理2.2 函数项级数在上一致收敛于的充要条件是余项列满足：
## 函数项级数一致收敛的判别法

定理3.1(魏尔斯特拉斯判别法)
设函数项级数定义在数集上，若存在收敛的正项级数，使得对所有和正整数有

则在上一致收敛。

其中被称为优级数。

证明：
由收敛，对任意，存在使得当时，

从而对任意，

满足柯西准则，故一致收敛, 得证

定理3.2(阿贝尔判别法)
设函数项级数满足：
1. 在区间上一致收敛；
2. 对每个，单调；
3. 在上一致有界（即存在使得对所有和成立），
则在上一致收敛。

证明： 由条件(1)， ,又由条件(2)(3)及[[数列与函数#阿贝尔变换]]阿贝尔引理得证.

定理3.3(狄利克雷判别法)
设函数项级数满足：
1. 的部分和在上一致有界（即存在使得对所有和成立）；
2. 对每个，单调；
3. 在上 一致收敛于零，
则在上一致收敛。

证明：
由条件 (1)，存在，使得对所有和正整数，有
因此，对任意，
对任意固定的，由条件 (2)和部分和有界性，根据[[数列与函数#阿贝尔变换]]阿贝尔引理（取，），得
由条件 (3)，对任意，存在使得当时，对所有，
因此，
由上述不等式，级数满足一致收敛的柯西准则，故在上一致收敛，得证

一致收敛的函数列与函数项级数的性质

函数列

定理4.0 设函数列在上一致收敛于，且对每个有，则： $和存在且相等。$

证明： 先证存在( 是收敛数列)，再证因为一致收敛,对任意有，从而由柯西准则可知是收敛数列，设由一致收敛性于及收敛于，对任意，存在使得当时，对所有有

取，有由，存在，使得当时，

结合上述不等式，对，有

故。得证.

定理4.0指出，一致收敛条件下，极限顺序可交换：

定理4.1(连续性) 若在区间上一致收敛且每项连续，则极限函数在上连续。

证明： 由题， ,又由定理4.0，有得证.

因连续性仅是局部性质，可进一步得推论若连续函数列在上内闭一致收敛于，则在上连续。
反例：在内闭一致收敛于（连续），但在上不一致收敛（因极限函数不连续）。

定理4.2(可积性) 若在上一致收敛且每项连续，则极限与积分可交换： (但极限与积分可交换不意味着一致收敛。) 证明： 设函数列在闭区间上一致收敛于，因为每一项在上连续，由定理4.1可知，极限函数在上连续，因而与在上都可积。由于在上成立，故对任给正数，存在，当时，对一切都有。根据定积分的性质，当时有得证.

定理4.3(可微性) 设在上满足： 1. 存在使收敛； 2. 每项在有连续导数； 3. 在上一致收敛(于)，则，且：

证明： 对于任意，总有：当时，根据条件有： 1. ； 2. 由定理13.10（积分与极限交换定理），因一致收敛于，故因此极限函数存在，且可表示为：其中根据微积分基本定理，由于是连续函数（作为一致收敛的连续函数列的极限），可得：得证.

因可微性仅是局部性质，可进一步得推论设在上存在使收敛；,且在上内闭一致收敛，则f在上可导，且

函数项级数

将上述函数列的定理中的一般的函数列替换成部分和函数列，就可得下述的函数项级数的相应定理。

定理5.1(连续性) 若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项连续，则其和函数在上连续。

同时，这个定理指出，在一致收敛条件下，无限求和与极限运算可交换(定理5.0)：

定理5.2(逐项积分) 若在上一致收敛且每项连续，则求和与积分可交换：

定理5.3(逐项求导) 若满足： 1. 每项有连续导函数； 2. 存在使收敛； 3. 导函数级数在上一致收敛，
则和函数可导，且：

一致收敛是保证求和、极限、积分、导数运算交换性的关键条件,本节定理不仅用于验证运算交换性，更重要的是即使没有求出极限函数或和函数，通过函数列或函数项级数本身推断出极限函数或和函数的解析性质（连续、可积、可微）。

补充：一个可以从点态收敛推出一致收敛的定理

定理6(dini定理) 设在上点态收敛的函数列满足以下条件：
1. 每一项在闭区间 上连续；
2. 对任意固定的，数列关于单调；
3. 极限函数在连续

则在上一致收敛于。

证明： 假定是数列单调递增的对任意，由单调递增且收敛于 ,知时又因都在处连续，故又有，使得且时，有从而在且时 ,有从而在上一致收敛于的，而是任取的，根据有限开覆盖定理，能找到有限个开区间 ,使得对于每一个都有使得式成立，当有，即在上一致收敛于得证.

同样的，对于函数项级数，有 定理6' 设函数项级数在闭区间上满足： 1. 每一项在上连续且非负（即）(部分和单增)； 2. 级数点态收敛于一个连续的和函数，

则在上一致收敛于。