隐函数的定义
在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，这种形式的函数称为显函数。
但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则由一个方程式所确定，通常称为隐函数。例如：，下面是具体定义：
设 ，函数 。对于方程 如果存在集合 ，对任何 ，有惟一确定的 ，使得 ，且满足方程(1)，则称方程 (1) 确定了一个定义在 上，值域含于 的隐函数。若把它记为（ 只是表明 符合关于 的一个函数映射而不代表具有显函数形式 ） 则成立恒等式
显函数一定可以写成隐函数的形式，隐函数却不一定可以写成显函数的形式，但有些常见的我们往往可以通过定义新的符号将其写成显函数的形式，比如
不是任一方程都可以确定出一个函数，如： 不难注意到隐函数形式实际上就是把一元函数 定义在二元函数 在平面 的截面(所以首先截面不能为空)，我们希望可以判断满足什么条件的二元函数可以确定隐函数
在截面不能为空的前提下，我们可以想一想怎样的截面是符合函数关系的(在某“交点”的某区域内的截面讨论)，最核心的，同一个 不能对应多个 ，更直观而可能不严谨的讲，不能有某区域存在“竖直的线”(这同时也避免了某区域截面为“面”而非“线”的情况)，
为了约束这个条件，我们只需要要求 且这样的偏导在某区域连续(防止一会正一会负的回马枪)，但这样的要求同时还要求连续性的假设，远超我们最开始的要求，这确实有一些小题大做，但不失为一种易行的方法。
隐函数存在唯一性定理
定理（隐函数存在唯一性定理） 若函数 满足下列条件：
1. 在以 为内点的某一区域 上连续；
2. （通常称为初始条件）；
3. 在 上存在连续的偏导数 ；
4. 。
则
存在性与惟一性：存在点 的某邻域 ，在 上方程 惟一地决定了一个定义在某区间 上的（隐）函数 ，使得当 时，，且 ，；
连续性： 在 上连续。
证明 先证隐函数 的存在性与惟一性。 由条件 4，不妨设 （若 ，则可讨论 ）。由条件 3 在 上连续，由连续函数的局部保号性，存在点 的某一闭的方邻域 ，使得在其上每一点都有 。因而，对每个固定的 ， 作为 的一元函数，必定在 上严格增且连续。由初始条件 2 可知
再由 的连续性条件 1 ，又可知道 与 在 上也是连续的。因此由保号性，存在 ，当 时恒有
对 上每个固定值 ，同样有 。根据前已指出的 在 上严格增且连续，由介值性定理知存在惟一的 ，满足 。由 在 中的任意性( 可以唯一的确定 )，这就证明了存在惟一的一个隐函数 ，它的定义域为 ，值域含于 。若记
则 在 上满足存在性与惟一性的各项要求。
再证明 的连续性。 对于 上的任意点 ，由上述结论可知 。任给 ，且 足够小，使得
由 及 关于 严格递增，可得 。根据保号性，知存在 的某邻域 ，使得当 时同样有
因此存在唯一的 ，使得 ，即 。这就证明了当 时，，即 在 连续。由 的任意性，可得 在 上连续。